متـــوازي الأضــــــلاع

            متوازي الأضلاع :

                   (1 مثال :

        (D1) و (D2) مستقيمان متوازيان .

        (L1) و (L2) مستقيمان متوازيان يقطعان (D1) و (D2) على التوالي في  :   A و B و C و D .

 

 

نسمي الرباعي ABCD متوازي الأضلاع

                   (2   تعريف :

متوازي الأضلاع هو رباعي حاملا كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين

           خصائــص :

                   (1   خاصية القطريين :

                                 أ( - الخاصية المباشرة :

  ABCD                                        متوازي الأضلاع قطراه يتقاطعان في O .

                 نلاحظ أن O منتصف القطريين [AC]  و [BD] .

             نقــول إذن  :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن لقطريه نفس المنتصف

        * ملاحظة هامة :    نسمي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع  مركزه .

                                 ب( - الخاصية العكسية :

  A                     و B  و C  و D نقط بحيث [AC]  و [BD] لهما نفس المنتصف O و حاملاهما غير متعامدين :

                       لنبرهن أن الرباعي ABCD متوازي الأضلاع .

                      من أجل هذا سنبرهن أن (AB) يوازي (CD) و أن (AD) يوازي (BC)  :

                      نعلم أن O منتصف [AC]  و [BD]  إذن :

                      A  و C  متماثلتين بالنسبة للنقطة O .

                      B  و D  متماثلتين بالنسبة للنقطة O .

                     إذن  :  المستقيمين (AB)  و (CD) متماثلين بالنسبة للنقطة O و كذلك المستقيمين (AD)  و (BC) .

                         و منه فإن  (AB) // (CD)  و (AD) //(BC)

              و بالتالي فإن  ABCD متوازي الأضلاع  ) حسب التعريف ( مركزه النقطة O .

 

             نقــول إذن  :

إذا كان رباعي قطراه لهما نفس المنتصف فإنه يكون متوازي الأضلاع

*             تمرين تطبيقي :

                             ABC  مثلث و I منتصف [AC] .

                    (1 أنشئ D مماثلة B بالنسبة للنقطة I .

(2    أثبت أن الرباعي  ABCD  متوازي الأضــلاع .

                 الحــــل :

             (1 الشكـــــل :    

             (2 لنثبت أن الرباعي ABCD متوازي الأضـــلاع :

               نعلم أن  : 

           I منتصف [AC]  (1) .

                 و لدينا D مماثلة  B بالنسبة للنقطة I .

           إذن : I منتصف [BD] . (2)

           من (1)  و  (2)  نستنتج أن الرباعي ABCD متوازي الأضـــلاع .)  حسب الخاصية العكسية للقطرين ( .   

2                   خاصية الأضلاع المتقابلة :

                                 أ( - الخاصية المباشرة :

                                         ABCD متوازي الأضلاع مركزه O .

                                          لنبين  :  AB = CD   و AD = BC

                نعلم أن O  مركز متوازي الأضلاع ABCD .

                إذن   O منتصف القطرين [AC] و[BD] .

                و منه نستنتج أن  :  A  و C متماثلتين بالنسبة للنقطة O  و كذلك B  و D .

                و بالتالي  فإن  :  AB = CD   و  AD = BC  ) حسب خاصية الحفاظ على المسافة بين نقطتين( .

              نقــول إذن  :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان

              ب( - الخاصية العكسية :

إذا كان  لرباعي كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان فإنه يكون متوازي الأضلاع

                   (3   خاصية الزوايا المتقابلة :

                                 أ( - الخاصية المباشرة :

 ABCD                             متوازي الأضلاع مركزه O .

             لنبين أن     و أن    .

             نعلم أن ABCD متوازي الأضلاع مركزه O .

                     إذن  :    O  منتصف القطرين [AC]  و [BD] .

                     و منه فإن   :   A  و C متماثلتين بالنسبة للنقطة O  و كذلك  B  و D .

              إذن  الزاويتان و  متماثلتان بالنسبة للنقطة O

                 و كذلك الزاويتين  و 

             و بالتالي فإن   :    و  

             نقــول إذن  :

إذا كان رباعي متوازي الأضلاع فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متقايستان

ب( - الخاصية العكسية :

     إذا كان لرباعي كل زاويتين متقاباتين فيه متقايستان فإنه يكون متوازي الأضلاع

4    ارتفاع متوازي الأضـــلاع :

ABCD                              متوازي الأضلاع  و H المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (CD) .

نسمي AH   ارتتفاع متوازي الأضلاع ABCD .

(5   خاصية إضــافية :

إذا كان لرباعي ضلعان متقابلان و حاملاهما متوازيين فإنه يكون متوازي الأضـــلاع