الزوايا المـكــونة من مـتـــــوازيين و قــــــــــاطع

I _ تذكيــر :

        (1 الزاويتان المتتامتان والزاويتان المتكاملتان :

                   تكون  زاويتان متتامتين إذا كان مجموع قياسهما 90 .

                   تكون زاويتان متكاملتين إذا كان مجموع قياسهما 180 .

        (2 الزاويتان المتحاذيتان :

                 تكون زاويتان متحاذيتين إذا كان  :

                  لهما نفس الرأس .

                  لهما ضلع مشترك.

                  تقاطعهما هو الضلع المشترك .

                     * مثال :

 ,  زاويتنا متحاذيتان   

 

II _ الزاويتان المتقابلتان بالرأس :

         (1 مثال  :

نسمي الزاويتين

   , 

زاويتان متقابلتان بالرأسO

و كذلك الزاويتين 

 

 

 

 

        (2 خاصية :     زاويتان متقابلتان بالرأس تكونان متقايستين

III _ الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع :

        (1 تعاريف :

                              أ( - الزاويتان المتبادلتان داخليا :

                             (D1) و(D2) مستقيمان متقاطعان و (L) قاطع لهما على التوالي في A وB .

          نسمي الزاويتين       :

         زاويتان متبادلتان داخليا

ب( - الزاويتان المتناظرتان :

   (D1) و(D2) مستقيمان متقاطعان و (L) قاطع لهما على التوالي في A وB .

                                نسمي الزاويتين   :

                                      زاويتان متناظرتان

        (2 خصــائــص :

أ( - الخاصية المباشرة للزاويتين المتبادلتين داخليا :

  (D1) و(D2) مستقيمان متوازيان و (L) قاطع لهما على التوالي في A وB .

                                       نلاحــظ أن  : 

              نقول إذن  :  إذا كان مستقيمان متوازيين فإنهما يحددان مع كل  قاطع لهما زاويتان متبادلتان داخليا متقايستان

* مثال :        ABCD متوازي الأضلاع و M نقطة من نصف المستقيم [CD) خارج القطعة [CD] .

                           لنبين أن  :   

                           نعتبر المستقيمين (AB) و(CD) و القاطع لهما (AD) .

                           لدينا :      و   زاويتان متبادلتان داخليا .

                           و نعلم أن الرباعي ABCD متوازي الأضلاع , إذن :

                          (AB) // (CD)  ) حسب التعريف ( .

                          و منه فإن  : 

ب( - الخاصية المباشرة للزاويتين المتناظرتين :

                                     (D1) و(D2) مستقيمان متوازيان و (L) قاطع لهما على التوالي في A وB .

                             نلاحظ أن   :  

                              نقول إذن  : 

إذا كان مستقيمان متوازيين فإنهما يحددان مع كل  قاطع لهما زاويتان متناظرتان متقايستان

                    مثال :    ABC مثلث متساوي الأضلاع و (AF) مستقيم يمر من A و يوازي المستقيم (BC) .

                     و E نقطة [BA) خارج  [AB] .

                      لنحسب .

 

          

نعتبر المتقيمين  (BC) و (AF) و القاطع لهما (EB) .

 لدينا  :   و  زاويتان متناظرتان .

و بما أن  (AF) // (BC) فإن  :    =     .

ونعلم أن المثلث ABC متساوي الأضلاع , إذن  :     =60

   و منه فإن  :60    = .

ج( - الخاصية العكسية للزاويتين المتبادلتين داخليا و الزاويتين المتناظرتين :

                          إذا حدد مستقيمان مع قاطع لهما زاويتين متبادلتين داخليا متقايستان

                          أو زاويتين متناظرتين متقايستان فإنهما يكونان متوازيين

مثال : 

  ABC مثلث متساوي الساقين رأسه  A بحيث .

[AE) نصف مستقيم بحيث  و  زاويتان متحاذيتان

 و  .

                         لنبين أن (BC) // (AE) .

 

    لدينا ABC مثلث متساوي الساقين رأسه A .

 إذن  : 

 نعتبر المستقيمين (EA) و(BC) و القاطع لهما  (AB).

 لدينا  :    و  زاويتان متبادلتان داخليا .

  نعلم أن  . و بما أن     فإن :

    .

  ومنه فإن  :   (AE) // (BC)

IV _ خاصيات التوازي و التعامد :

        (1 الخاصية الأولى :  إذا كان مستقيمان متوازيين فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الآخر 

 

        (2 الخاصية الثانية :  إذا كان مستقيمان متعامدين فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون موازيا للآخر .